M3. Periodogramas: como se acha um período¶

Nível médio · semanas 5–6 · cerca de 10 horas

Nesta aula você vai aprender

A ideia do BLS (Box Least Squares) e o que o TLS muda.
O que é SDE e por que o limite é 9.
Como a grade de períodos é montada, e por que seus limites mudaram o recall.
Por que aparecem aliases (P/2, 2P, P/3) e como o PlanetHunter corrige o caso P/3.
Como funciona a busca iterativa com mascaramento.
Por que a janela de detrending decide o que você consegue achar, com números medidos.
O efeito de lacunas e bordas de segmento nos dados do TESS.

O problema¶

Você tem 27 dias de brilho medido a cada 2 minutos, cerca de 18 000 pontos. Em algum lugar há quedas de 300 ppm, com ruído de 130 ppm por ponto. Você não sabe o período, nem quando foi o primeiro trânsito, nem quanto dura cada um.

A solução é força bruta organizada: testar todas as combinações e medir qual explica melhor os dados. O gráfico de "quão bem cada período explica os dados" é o periodograma.

BLS: procurar caixas¶

O BLS (Box Least Squares, Kovács, Zucker & Mazeh, 2002) modela o trânsito como uma caixa: brilho constante fora, brilho constante e mais baixo dentro.

Para cada período \(P\) da grade:

Dobre a curva: calcule a fase de cada ponto, o resto da divisão do tempo por \(P\). Se \(P\) estiver certo, todos os trânsitos caem um em cima do outro.
Para cada posição da caixa na fase e cada duração da grade, compare a média dos pontos dentro da caixa com a média fora.
Calcule quanto o modelo de caixa reduz o erro quadrático em relação a uma linha reta. Essa redução é a potência do BLS naquele período.

O periodograma guarda, para cada período, a melhor potência entre todas as posições e durações. O pico mais alto é o candidato a período.

Analogia: é como procurar uma batida num barulho. Você tenta vários ritmos e, para cada um, sobrepõe os compassos. No ritmo certo, as batidas se somam e se destacam; nos errados, se espalham.

TLS: procurar trânsitos de verdade¶

O TLS (Transit Least Squares, Hippke & Heller, 2019) faz a mesma busca, mas troca a caixa por um modelo de trânsito realista: rampas de entrada e saída, fundo arredondado pelo escurecimento de borda (aula M2). O modelo é ajustado à estrela: o PlanetHunter passa raio e massa do TIC.

Por que isso ajuda? A caixa erra nas rampas e no fundo. Para trânsitos fortes, tanto faz. Para planetas pequenos, perto do limite de detecção, esse erro come uma parte do sinal. O modelo realista recupera essa parte, e os autores mostram ganho de sensibilidade justamente para planetas pequenos. Em troca, o TLS é mais lento.

O PlanetHunter usa o TLS 2.0 (backend fused-pl, uma thread por alvo, em paralelo por estrela).

SDE: o pico se destaca?¶

O TLS calcula, para cada período, um valor de qualidade do ajuste (chamado SR). O SDE (Signal Detection Efficiency) mede quanto o pico mais alto se destaca do resto:

\[ \text{SDE} = \frac{\text{SR}_\text{pico} - \overline{\text{SR}}}{\sigma_\text{SR}} \]

É o número de desvios padrão que o pico está acima da média do periodograma. Um SDE alto diz: "esse período é muito melhor que todos os outros".

Por que 9? Hippke & Heller (2019) simularam curvas só com ruído branco e mediram com que frequência o maior pico passava de cada SDE. SDE 9 corresponde a uma probabilidade de falso alarme (FAP) de cerca de \(10^{-4}\): 1 em 10 000 curvas de ruído puro. É o sde_min: 9.0 do config/thresholds.yaml.

O sistema guarda também sinais com SDE entre 7 e 9 (sde_keep: 7.0), mas eles não viram candidatos. Servem de exemplos fracos para o futuro classificador de aprendizado de máquina.

SDE e SNR medem coisas diferentes

O SDE compara o pico com o resto do periodograma: "esse período se destaca?". O SNR compara a profundidade com o ruído da curva: "a queda é grande?" (aula M1). Um sinal pode ter SDE alto e SNR baixo, ou o contrário. O PlanetHunter exige os dois: SDE ≥ 9 e SNR ≥ 7,1.

A grade de períodos¶

O TLS não testa infinitos períodos. Testa uma grade, e a grade decide o que pode ser encontrado. Os parâmetros do projeto:

Parâmetro	Valor	Por quê
`period_min_days`	0,5 d	Abaixo disso, poucos planetas e muitos sistemáticos
`period_max_fraction_of_span`	0,9 × duração dos dados	Dois trânsitos bastam para definir um período
`period_max_days`	40 d	Teto absoluto (ver abaixo)
`oversampling_factor`	3	Densidade da grade; maior = mais lento e mais fino
`duration_grid_step`	1,1	Cada duração testada é 10 % maior que a anterior
`bin_minutes`	10	Junta pontos de 2 min em blocos de 10 min para acelerar; perde pouco para P > 1 d

Cada um desses números tem uma história medida no benchmark do setor 69:

Limites estelares. No início, a grade de durações só aceitava estrelas até ±30 % do raio e da massa do TIC. Trânsitos mais curtos que o central (b alto, raio do TIC errado) ficavam fora. TOI 196.01, 347.01, 386.01 e 2339.01 sumiam; com limites largos, aparecem com SDE de 8,6 a 16,8.
Período mínimo e limite de Roche. O TLS calcula o menor período possível a partir do raio do modelo (um planeta não pode orbitar dentro da estrela). Com o raio do TIC de 4,06 R☉, a grade começava em 4,15 d, e o TOI 196.01, com P = 1,16 d, sumia. Correção: o modelo usa no máximo 1,5 R☉ e 1,5 M☉.
Teto de 40 dias. Na busca com vários setores separados por anos (dados cobrindo ~800 dias), a grade ficava enorme e gerava aliases espúrios de 26 a 64 dias com 1 ou 2 trânsitos.

Resultado acumulado das mudanças: recall de 84,4 % para 91,1 % nos TOIs detectáveis.

Aliases: os picos fantasmas¶

Um alias é um período errado que é múltiplo ou fração simples do verdadeiro. Por que eles aparecem?

Em 2P, você dobra a curva com o dobro do período. Metade dos trânsitos cai na fase 0 e a outra metade na fase 0,5. A caixa em fase 0 ainda pega trânsitos de verdade, com metade dos pontos. Pico mais baixo, mas pico.
Em P/2, cada "trânsito" previsto alterna entre um real e um vazio. A profundidade média cai pela metade.
Em P/3, 3P/2, 2P/3, a mesma lógica, com frações diferentes.

Exemplo medido na aula M4, com o BLS do Lightkurve em Pi Men c (setor 1): pico principal em 6,27 d com potência 1 400; picos menores em 12,53 d (2P, potência 857), 3,13 d (P/2, potência 746), além de 9,4 d (3P/2) e 2,09 d (P/3). No período P/2, a profundidade calculada cai de 228 para 126 ppm: exatamente metade, como a explicação prevê.

Binária com período 2P

Uma binária eclipsante com duas estrelas parecidas tem dois eclipses por órbita. A busca acha o período P entre eclipses consecutivos, que é metade do período orbital verdadeiro. É por isso que o teste odd_even compara trânsitos ímpares e pares: se as estrelas forem um pouco diferentes, os eclipses alternados terão profundidades diferentes.

O caso P/3 e o `refine_alias`¶

Com poucos trânsitos e lacunas nos dados, o TLS às vezes prefere um terço do período verdadeiro. Imagine um planeta de 12,6 d num setor de 27 d: dois trânsitos. Em P/3 = 4,2 d, o TLS prevê seis trânsitos. Dois são reais; os outros quatro caem em lacunas ou são diluídos na média. O pico em P/3 pode ganhar.

Foi exatamente o que aconteceu no setor 69: TOI 899.01, 924.01 e 3262.01 (períodos de 12 a 13 dias) saíam com cerca de 4,2 d.

A correção, a função refine_alias em search/tls.py, faz um teste direto para k = 3 e k = 2:

Divide as épocas previstas por P em dois grupos: A, as que também seriam previstas por kP, e B, as que só existem em P.
Mede a profundidade em cada grupo.
Aceita kP se o grupo A mostra trânsito (mais de 3 sigma), o grupo B tem dados mas não mostra trânsito (menos de 3 sigma), e a profundidade de A é mais de 3 vezes a de B.

Em palavras: se os trânsitos "extras" previstos por P caem em dados bons e não aparecem, o período verdadeiro é o maior. O dossiê mostra o resultado no campo "Fator de alias aplicado".

Busca iterativa com mascaramento¶

Uma estrela pode ter mais de um planeta. O TLS só devolve o pico mais forte. Solução:

Busque e ache o sinal mais forte.
Apague (mascare) os pontos dos trânsitos dele, numa janela de 2 durações (mask_width_durations: 2.0).
Busque de novo na curva que sobrou.
Repita até 3 vezes (max_signals_per_target: 3) ou até o SDE cair abaixo de 7.

Para Pi Men c, depois de mascarar os 5 trânsitos, a segunda busca do BLS não acha nada relevante (melhor pico com 37 ppm e destaque baixo). É o esperado: no setor 1, só Pi Men c transita.

Na ferramenta

A busca está em search_periodic (src/planethunter/search/tls.py). Cada sinal sai com iteration (0, 1, 2), sde, snr, n_transits, alias_factor e a janela de detrending usada. No vetting, o teste independence verifica se um sinal sobrevive quando os sinais mais fortes da mesma estrela são mascarados: no setor 69, o sinal 1601 (11,95 d) estava reaproveitando os eclipses do sinal 1600 (6,75 d) e foi vetado.

Detrending: a janela que decide¶

Antes da busca, a curva precisa ser achatada: a variação lenta da estrela (rotação, manchas) é removida para deixar os trânsitos visíveis. O PlanetHunter usa o filtro biweight da biblioteca wotan: para cada ponto, estima a tendência local numa janela de largura fixa, de forma robusta (ignora pontos discrepantes como os do trânsito), e divide a curva por ela.

O dilema: se a janela for curta, o filtro segue também o trânsito e o "come". Se for longa, deixa sobrar a variabilidade rápida da estrela.

Medido pelo projeto com um trânsito sintético em caixa de 1 500 ppm, sem variabilidade:

Janela	Trânsito de 3 h	Trânsito de 5 h
0,5 d	perde 8 % da profundidade	perde 40 %
1,0 d	perde 0 %	perde 6 %

A regra prática é uma janela de cerca de 3 vezes a duração do trânsito mais longo procurado. O padrão é 1,0 d (window_length_days). Trânsitos de 5 a 6 h aparecem em períodos de 20 a 40 d numa estrela como o Sol (aula M2) ou em períodos menores em estrelas maiores.

Variantes de detrending¶

Uma janela só não serve para todas as estrelas. O sistema mede a sobra de variabilidade depois do achatamento pela razão entre o desvio padrão e o ruído ponto a ponto (aula M1). Se passar de 1,2 (red_noise_max), refaz com janelas de 0,5 d e depois 0,3 d (fallback_windows_days). E busca nas duas versões, padrão e adaptativa, juntando os sinais (o de maior SDE vence quando dois têm o mesmo período).

Por que as duas? Dois casos reais do setor 69:

TOI 862.01 (5 092 ppm): a estrela varia rápido. Com janela de 1,0 d, a razão de ruído ficava em 2,8 e o sinal sumia. Com 0,5 d, aparece com SDE 18.
TOI 190.01 (trânsito de 5,7 h): com janela de 0,3 d, a profundidade de 8 248 ppm virava 347 ppm. A janela curta comeu o trânsito.

Só a janela curta perde o segundo; só a longa perde o primeiro. Buscar nas duas e juntar salvou ambos.

Mais dois cuidados na limpeza: remover pontos discrepantes só para cima (sigma_upper: 4.0), nunca para baixo; e não cortar as bordas dos segmentos (edge_cutoff_days: 0.0), para preservar eventos únicos perto delas.

Exercício 1

Um candidato tem trânsitos de 5 horas e profundidade verdadeira de 1 500 ppm. Que profundidade você espera medir com janela de 0,5 d? E com 1,0 d? Se o ruído der SNR 10 com a profundidade verdadeira, o sinal passaria no limite de SNR com a janela de 0,5 d?

Ver resposta

Com 0,5 d, perde 40 %: mede-se cerca de 1 500 × 0,6 = 900 ppm. Com 1,0 d, perde 6 %: cerca de 1 410 ppm.

O SNR é proporcional à profundidade. Com 0,5 d: 10 × 0,6 = 6,0, abaixo de 7,1. O portão snr vetaria o sinal. Com 1,0 d: 10 × 0,94 = 9,4, passa. A escolha da janela, sozinha, decide se esse planeta é achado.

Lacunas e bordas de segmento¶

Os dados do TESS não são contínuos. Um setor de ~27 dias tem uma lacuna no meio para enviar dados à Terra, e às vezes outras por problemas. Cada trecho contínuo é um segmento.

Lacunas atrapalham de três jeitos:

Trânsitos perdidos. Um trânsito que cai na lacuna não existe nos dados. Com período longo, isso pode deixar um único trânsito, e o sinal é vetado por n_transits.
Aliases. É a lacuna que permite o caso P/3: os trânsitos "extras" caem nela e ninguém desmente o período curto.
Bordas. Nas pontas de cada segmento, o detrending tem dados de um lado só e pode criar rampas artificiais. O projeto mediu: ruído puro, com variabilidade de 2 000 ppm, gerou SDE ~10 num período igual a uma órbita do TESS, com o "evento" a 0,07 d da borda.

Por isso cada sinal sai com edge_transit_fraction: a fração dos trânsitos com dados cujo centro está a menos de 0,5 d (edge_window_days) de uma borda de segmento. Sinais com mais de 50 % dos trânsitos em bordas (max_edge_transit_fraction: 0.5) não viram candidatos, e o teste edges_dumps do vetting reprova pelo mesmo critério (ou se mais de 50 % caem perto de um ajuste de apontamento, o momentum dump).

Exercício 2

Pi Men c no setor 1 teve 5 trânsitos, nos instantes BTJD 1325,50; 1331,77; 1338,04; 1344,31 e 1350,57. Os dados começam em 1325,30, terminam em 1353,18 e há uma lacuna entre 1338,52 e 1339,66. Calcule edge_transit_fraction. O sinal seria barrado?

Ver resposta

Distância de cada trânsito à borda mais próxima:

1325,50: a 0,20 d do início (1325,30). Em borda.
1331,77: longe de qualquer borda.
1338,04: a cerca de 0,48 d do início da lacuna (1338,52). Em borda.
1344,31 e 1350,57: longe das bordas (o fim dos dados está em 1353,18).

São 2 de 5: edge_transit_fraction = 0,4. É exatamente o valor que o PlanetHunter calcula para esse sinal. Como 0,4 ≤ 0,5, o sinal não é barrado, e o teste edges_dumps passa.