A1. Algoritmos de detecção a fundo¶

Nível avançado · semanas 1–3 · cerca de 14 horas

Nesta aula você vai aprender

A estatística por trás do BLS (Kovács, Zucker & Mazeh 2002) e por que ela é, no fundo, uma razão sinal-ruído.
O que o TLS (Hippke & Heller 2019) muda em relação ao BLS e quanto isso custa.
Os trade-offs entre três formas de detrending: biweight, spline e processos gaussianos.
Por que monotrânsitos e duotrânsitos são o nicho com mais planetas por achar, e por que são difíceis.
Os limites atuais da busca do PlanetHunter e de onde eles vieram.

Na aula M3 você viu a ideia do periodograma. Agora a pergunta é: o que exatamente está sendo maximizado, e por quê?

1. A busca como teste de hipóteses em grade¶

Toda busca de trânsitos periódicos testa três parâmetros: período \(P\) (dias), época \(T_0\) (instante de um trânsito, em BTJD) e duração \(T_{14}\) (horas). Para cada trio, o algoritmo compara "brilho constante" com "brilho constante, exceto durante trânsitos que se repetem a cada \(P\)". O periodograma mostra, para cada \(P\), a melhora obtida com o melhor \(T_0\) e a melhor duração.

Consequência importante: são milhões de testes, e o ruído sozinho produz picos. Com um milhão de tentativas, algum pico de 3 sigma aparece por acaso quase com certeza. É o efeito de olhar em outro lugar (look-elsewhere effect), que volta na aula A5, no piso de ruído medido pelo projeto.

2. BLS: a estatística por trás¶

O BLS (Box Least Squares) foi publicado por Kovács, Zucker & Mazeh (2002), Astronomy & Astrophysics 391, 369. O modelo é uma caixa: brilho \(H\) fora do trânsito, brilho \(L\) dentro, com transição instantânea.

As definições do artigo¶

Os dados são \(N\) medidas de fluxo \(x_i\) com erros \(\sigma_i\). Primeiro, subtrai-se a média ponderada, de modo que os dados ficam centrados em zero. Cada ponto recebe um peso normalizado:

\[ w_i = \frac{\sigma_i^{-2}}{\sum_j \sigma_j^{-2}}, \qquad \sum_i w_i = 1 . \]

Para um período de teste, os pontos são dobrados em fase. Escolhe-se um intervalo de fase candidato a trânsito e define-se:

\[ r = \sum_{i \in \text{trânsito}} w_i, \qquad s = \sum_{i \in \text{trânsito}} w_i \, x_i . \]

Em palavras: \(r\) é a fração do peso que cai dentro do trânsito (se todos os erros forem iguais, é simplesmente a fração dos pontos) e \(s\) é a soma ponderada do fluxo dentro do trânsito. Se há uma queda, \(s\) é negativo.

O artigo mostra que a soma dos resíduos ao quadrado do melhor modelo de caixa é

\[ D = \sum_i w_i x_i^2 - \frac{s^2}{r(1-r)} . \]

O primeiro termo não depende do modelo. Então minimizar \(D\) é o mesmo que maximizar \(s^2/[r(1-r)]\). O BLS calcula essa quantidade para todos os intervalos e guarda o maior valor. A raiz dela é o SR (signal residue) daquele período:

\[ \text{SR} = \max \left[ \frac{s^2}{r(1-r)} \right]^{1/2} . \]

A profundidade do melhor modelo sai de graça: \(\delta = H - L = |s| / [r(1-r)]\).

Por que isso é uma razão sinal-ruído¶

Suponha erros iguais, \(\sigma_i = \sigma\), e um trânsito de profundidade \(\delta\) ocupando a fração \(r\) dos pontos. Com os dados centrados em zero, o nível dentro é \(L = -\delta(1-r)\) e fora é \(H = \delta r\). Então \(s = rL = -\delta\, r(1-r)\) e

\[ \frac{s^2}{r(1-r)} = \delta^2\, r(1-r) . \]

Multiplicando por \(N/\sigma^2\) (para voltar dos pesos normalizados ao qui-quadrado), a melhora do ajuste é

\[ \Delta\chi^2 = \frac{N \, \delta^2 \, r(1-r)}{\sigma^2} \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{\Delta\chi^2} = \frac{\delta}{\sigma}\sqrt{N r (1-r)} \approx \frac{\delta}{\sigma}\sqrt{N_\text{em trânsito}} . \]

É a fórmula de SNR do nível médio: profundidade sobre ruído de um ponto, vezes a raiz do número de pontos em trânsito. O BLS procura o período que maximiza a SNR de uma caixa. E vale o que você viu na aula M1: com ruído correlacionado, \(\sigma/\sqrt{N}\) subestima o erro e o BLS fica otimista.

SDE: o pico se destaca?¶

O SR sozinho depende da escala dos dados. Para comparar estrelas, Kovács et al. definem o SDE (Signal Detection Efficiency):

\[ \text{SDE} = \frac{\text{SR}_\text{pico} - \langle \text{SR} \rangle}{\text{desvio padrão}(\text{SR})} . \]

Em palavras: quantos desvios padrão o pico está acima da média do periodograma. Por ser relativa ao próprio periodograma, é comparável entre estrelas de brilho diferente.

3. TLS: o que muda¶

O TLS (Transit Least Squares), de Hippke & Heller (2019), Astronomy & Astrophysics 623, A39, é o algoritmo que o PlanetHunter usa. A ideia central é simples: um trânsito real não é uma caixa. Ele tem entrada e saída graduais (ingresso e egresso) e fundo arredondado por causa do escurecimento de borda (a borda da estrela é mais escura que o centro, como você viu na aula M2).

As diferenças principais¶

Aspecto	BLS	TLS
Modelo	Caixa de duas alturas	Trânsito com escurecimento de borda, gerado com os parâmetros da estrela
Medida de ajuste	\(s^2/[r(1-r)]\)	Qui-quadrado do ajuste do modelo
Espectro	SR(P)	\(\text{SR}(P) = \chi^2_\text{min, global} / \chi^2_\text{min}(P)\), entre 0 e 1
SDE	(pico − média) / desvio	\((1 - \langle\text{SR}\rangle)/\sigma_\text{SR}\), com a tendência do espectro removida
Grade de períodos	Livre	Amostragem ótima em frequência (Ofir 2014)
Grade de durações	Livre	Limitada pela física: raio e massa da estrela fixam a duração possível para cada período
Custo	Baixo	Bem maior; exige paralelismo

O ganho vem de duas fontes. O modelo realista casa melhor com o sinal, sobretudo em planetas pequenos, onde ingresso e egresso são uma fração grande do trânsito; os autores mostram SDE maior que o do BLS nos mesmos dados. E a grade de durações limitada pela estrela evita testar durações impossíveis, o que reduz as tentativas e os picos espúrios.

O limite SDE ≥ 9 vem do artigo do TLS: com ruído branco, corresponde a uma probabilidade de alarme falso da ordem de \(10^{-4}\) (sde_min em config/thresholds.yaml).

O preço da física: limites estelares¶

A grade de durações depende do raio e da massa da estrela, e o projeto se cortou nisso duas vezes (histórico do benchmark):

Limites estreitos demais. Com raio e massa limitados a ±30 % do TIC, trânsitos mais curtos que o previsto (impacto alto) ficavam fora da grade. TOI 196.01, 347.01, 386.01 e 2339.01 só apareceram com limites largos (SDE 8,6 a 16,8).
Raio estelar no período mínimo. O TLS deriva o menor período pelo limite de Roche, que depende do raio. Com \(R = 4{,}06\,R_\odot\) no TIC, a grade começava em 4,15 dias, e o TOI 196.01 tem 1,16 dia. Correção: modelo com raio e massa limitados a 1,5.

Lição: cada informação "física" dada ao algoritmo é também uma hipótese que pode estar errada.

4. Detrending: biweight, spline e GP¶

Antes de buscar, é preciso remover a variação lenta da estrela (rotação, manchas, sistemáticos do telescópio). A escolha do método decide o que sobrevive.

Método	Como funciona	Vantagem	Risco
Biweight em janela deslizante	Para cada ponto, estima o "nível típico" dos vizinhos numa janela de tempo, dando peso pequeno a pontos muito distantes da mediana	Robusto a trânsitos e outliers; um só parâmetro (a janela); rápido	Janela curta come trânsito longo; janela longa deixa variabilidade rápida
Spline robusta	Curva suave feita de polinômios por partes, ajustada várias vezes descartando pontos discrepantes	Boa para tendências lentas e suaves	O espaçamento dos nós faz o papel da janela; pode oscilar perto de lacunas
Processo gaussiano (GP)	Modelo estatístico do ruído correlacionado, com um "kernel" que descreve como pontos próximos se parecem (por exemplo, quase periódico para rotação)	Segue variabilidade complexa de estrelas jovens e ativas; dá incerteza	Flexível demais: absorve o trânsito se ele não for mascarado; caro; exige escolher o kernel

O artigo do wotan (Hippke et al. 2019, AJ 158, 143), biblioteca usada pelo projeto, comparou dezenas de métodos e concluiu que o biweight com janela de cerca de três vezes a duração do trânsito é a melhor escolha geral.

O que o projeto mediu¶

Trânsito-caixa de 1 500 ppm sem variabilidade: janela de 0,5 dia perde 8 % da profundidade num trânsito de 3 h e 40 % num de 5 h; janela de 1,0 dia perde 0 % e 6 %. Trânsitos de período acima de 10 dias em estrelas tipo Sol duram 5 a 6 horas: a janela padrão é 1,0 dia.
TOI 862.01 (5 092 ppm) some com 1,0 dia (desvio padrão 2,8 vezes o ruído ponto a ponto: variabilidade rápida que sobrou) e aparece com 0,5 dia, SDE 18.
TOI 190.01 (5,7 h, 8 248 ppm) vira 347 ppm com janela de 0,3 dia.

Não há janela única para os dois casos. Solução: se a razão desvio/ruído ponto a ponto passar de 1,2 (red_noise_max), refazer o detrending com 0,5 e 0,3 dia (fallback_windows_days) e buscar em todas as versões. Com outras mudanças, isso levou o recall de 86,7 % para 88,9 %.

O caso que ainda falha: TOI 251.01 (845 ppm, 4,94 d), estrela jovem com ruído vermelho de 1,8, exatamente onde um GP poderia ajudar. O histórico o lista como "próxima hipótese". Hipótese, não solução: só o benchmark vai dizer.

5. Monotrânsitos e duotrânsitos: o nicho com mais planetas por achar¶

Um monotrânsito é um único trânsito observado. Um duotrânsito são dois trânsitos separados por um intervalo longo, em geral em setores de anos diferentes, sem nenhum trânsito no meio observado.

Por que é o nicho mais promissor¶

O TESS observa em blocos de cerca de 27 dias. Um planeta de 60 dias mostra no máximo um trânsito por setor, e em grande parte do céu a estrela só volta a ser observada anos depois.
Os pipelines oficiais exigem pelo menos dois trânsitos. Eventos únicos ficam de fora.
A evidência é concreta. Dos TOIs que nasceram como CTOIs da comunidade (168 até 2021, Zenodo 5130660), a maioria são estrelas fracas das imagens completas ou trânsitos únicos rejeitados pelas buscas periódicas.
Planetas de período longo são valiosos: mais frios e menos irradiados.

Por outro lado, sem período não existem os testes de ímpar/par, secundário e consistência; e um evento único é fácil de imitar (ajuste de apontamento, luz espalhada, um asteroide cruzando a região usada para estimar o fundo do céu).

Estimando o período pela duração¶

A duração de um trânsito central (\(b = 0\)) numa órbita circular é \(T \approx P R_\star / (\pi a)\). Combinando com a terceira lei de Kepler, \(a^3 = G M_\star P^2 / (4\pi^2)\), e isolando \(P\):

\[ P \approx \frac{\pi \, G M_\star \, T^3}{4 \, R_\star^3} . \]

Se o trânsito não for central (\(b > 0\)), ele é mais curto do que seria com \(b = 0\) para o mesmo período. Logo, usar a duração observada nessa fórmula dá um limite inferior para o período. Essa ideia (estimar período a partir da forma de um único trânsito e da densidade da estrela) é a base de trabalhos como Osborn et al. (2016), MNRAS 457, 2273, feitos com dados do K2.

Duotrânsitos: aliases em pente¶

Com dois trânsitos separados por \(\Delta t\), o período verdadeiro é \(\Delta t / n\) para algum inteiro \(n\). Cada \(n\) é um candidato. O limite inferior da duração corta os \(n\) grandes. Os setores do TESS em que a estrela foi observada sem trânsito cortam outros: se o alias \(n\) prevê um trânsito numa data com dados e nada aparece, ele está descartado.

Estado no projeto¶

O PlanetHunter ainda não tem detector de monotrânsito. Hoje, n_transits veta qualquer sinal com menos de dois trânsitos. Mas a fundação já respeita o nicho: edge_cutoff_days: 0.0 no detrending preserva eventos perto das bordas dos dados, justamente para não apagar monotrânsitos. O detector está na fase 4 do plano.

6. Os limites da busca do projeto¶

Parâmetro	Valor	Por quê
`period_min_days`	0,5	Limite inferior da grade
`period_max_fraction_of_span`	0,9	Precisa caber dois trânsitos no intervalo de dados
`period_max_days`	40	Teto absoluto, explicado abaixo
`max_signals_per_target`	3	Busca iterativa: acha, mascara 2 durações em volta, busca de novo
`bin_minutes`	10	Acelera a busca; perde pouco para períodos acima de 1 dia

Num setor só (cerca de 27 dias), o período máximo efetivo é 0,9 × 27 ≈ 24 dias. O teto de 40 dias só morde na busca multi-setor. E mordeu: juntando setores separados por anos (cerca de 800 dias no total), apareceram aliases espúrios de 26 a 64 dias com um ou dois trânsitos (TIC 41230546 e 31929204). O mecanismo é o pente de duotrânsitos: com dois blocos de dados distantes, muitos períodos \(\Delta t / n\) alinham uma queda de ruído num setor com outra no outro, e com milhares de tentativas algum alinhamento acontece. O teto corta o problema na raiz; períodos longos ficam para o futuro detector de monotrânsitos e duotrânsitos.

Outro limite: com poucos trânsitos e lacunas, o TLS às vezes devolve um terço do período (TOI 899.01, 924.01 e 3262.01 apareciam em torno de 4,2 dias). A função refine_alias testa \(2P\) e \(3P\): se as épocas previstas só pelo período curto caem em trechos com dados e sem queda, o período maior vence. Essa correção levou o recall a 91,1 %.

Na ferramenta

Todos os parâmetros desta aula estão em config/thresholds.yaml, seções preprocess e search, cada um com o comentário do porquê.
O detrending e as variantes de janela estão em src/planethunter/preprocess/clean.py; a busca TLS e o refine_alias, em src/planethunter/search/tls.py.
No dossiê, o gráfico "Curva de luz" mostra o resultado do detrending. Compare com a curva bruta e procure trânsitos encolhidos.
uv run planethunter run-target 261136679 roda a busca multi-setor em Pi Mensae; repare nas iterações.

Exercício 1. A SNR escondida no BLS

Uma estrela tem ruído de 1 000 ppm por ponto de 2 minutos. O setor tem \(N = 18\,000\) pontos válidos. Um planeta com período de 5 dias produz trânsitos de 1 000 ppm e 3 horas. Calcule \(r\), a melhora \(\sqrt{\Delta\chi^2}\) prevista pelo BLS e diga se o sinal passa no limite de SNR do projeto.

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Fração em trânsito: \(r = 3\ \text{h} / (5 \times 24\ \text{h}) = 3/120 = 0{,}025\).
\(\sqrt{\Delta\chi^2} = (\delta/\sigma)\sqrt{N r (1-r)} = (1000/1000)\sqrt{18\,000 \times 0{,}025 \times 0{,}975}\).
\(18\,000 \times 0{,}025 = 450\) pontos em trânsito; \(450 \times 0{,}975 = 438{,}75\); raiz \(\approx 20{,}9\).
SNR ≈ 21, bem acima de 7,1. Passa.

Observação: bins de 10 minutos (5 pontos) reduzem o ruído por ponto para \(1000/\sqrt{5} \approx 447\) ppm, mas dividem \(N\) por 5. Com ruído branco, a SNR fica igual: o binning acelera sem perder sensibilidade.

Exercício 2. Período mínimo de um monotrânsito

Você vê um único trânsito de 10 horas numa estrela igual ao Sol (\(M = 1\,M_\odot\), \(R = 1\,R_\odot\)). Use \(G M_\odot = 1{,}327 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2\) e \(R_\odot = 6{,}957 \times 10^{8}\ \text{m}\). Qual o menor período compatível com órbita circular?

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\(T = 10\ \text{h} = 36\,000\ \text{s}\); \(T^3 = 4{,}666 \times 10^{13}\ \text{s}^3\).
\(R_\star^3 = (6{,}957 \times 10^8)^3 = 3{,}367 \times 10^{26}\ \text{m}^3\).
Numerador: \(\pi \times 1{,}327 \times 10^{20} \times 4{,}666 \times 10^{13} = 1{,}945 \times 10^{34}\).
Denominador: \(4 \times 3{,}367 \times 10^{26} = 1{,}347 \times 10^{27}\).
\(P \approx 1{,}444 \times 10^{7}\ \text{s} \approx 167\) dias.

Como \(b > 0\) encurta o trânsito, o período real é pelo menos cerca de 167 dias (órbita circular). Conferência: a Terra tem trânsito de cerca de 13 horas; \((13/10)^3 \times 167 \approx 367\) dias, perto do ano real.

Exercício 3. O pente de um duotrânsito

A mesma estrela do exercício 2 mostra um segundo trânsito idêntico 730,0 dias depois do primeiro, num setor de dois anos mais tarde. Liste os períodos possíveis. Depois, suponha que o TESS observou a estrela num setor intermediário em que o alias de 365 dias prevê um trânsito no meio dos dados, e nada apareceu. O que sobra?

Ver resposta

Candidatos: \(P_n = 730{,}0/n\).
Do exercício 2, \(P \gtrsim 167\) dias, então \(n \le 730/167 \approx 4{,}4\), ou seja, \(n \in \{1, 2, 3, 4\}\).
Períodos: 730,0; 365,0; 243,3; 182,5 dias.
O setor intermediário elimina \(n = 2\) (365 dias). Atenção: ele também elimina \(n = 4\), porque todo trânsito previsto por 365 dias também é previsto por 182,5 dias (182,5 é a metade de 365).
Sobram 730,0 e 243,3 dias. Decidir exige observar numa data prevista por um e não pelo outro: é assim que duotrânsitos viram pedidos de observação em solo.

Armadilha comum

Concluir que o período está certo porque o pico é alto. Ele pode ser \(P/2\), \(2P\), \(P/3\), um alias multi-setor ou trânsitos de dois planetas diferentes combinados (caso HD 23472, aula A2).

Checklist da aula¶

Li a primeira e a segunda passada de Kovács, Zucker & Mazeh (2002).
Sei derivar, com a ajuda desta aula, por que maximizar \(s^2/[r(1-r)]\) equivale a maximizar a SNR de uma caixa.
Li Hippke & Heller (2019) agora com as equações e sei dizer as três diferenças principais em relação ao BLS.
Sei explicar com números do projeto por que a janela de detrending é 1,0 dia e quando o sistema usa 0,5 e 0,3.
Sei estimar o período mínimo de um monotrânsito e listar os aliases de um duotrânsito.
Sei por que existe o teto period_max_days: 40.

Para ir além¶

Kovács, Zucker & Mazeh (2002), Astronomy & Astrophysics 391, 369. O artigo original do BLS, com toda a estatística desta aula.
Hippke & Heller (2019), Astronomy & Astrophysics 623, A39. O TLS; leia a seção de método e a comparação com o BLS.
Ofir (2014), Astronomy & Astrophysics 561, A138. Como escolher a grade de períodos de forma ótima; o TLS usa essa ideia.
Hippke et al. (2019), The Astronomical Journal 158, 143. O artigo do wotan, com a comparação de métodos de detrending que justifica o biweight.
Foreman-Mackey et al. (2017), The Astronomical Journal 154, 220. O celerite, processos gaussianos rápidos; ponto de partida para testar GP em estrelas ativas.
Osborn et al. (2016), Monthly Notices of the RAS 457, 2273. Trânsitos únicos no K2 e estimativa de período a partir de um só evento.
Seager & Mallén-Ornelas (2003), The Astrophysical Journal 585, 1038. As relações analíticas entre forma do trânsito, densidade estelar e período, base da fórmula do exercício 2.