M1. Estatística para sinais¶

Nível médio · semanas 1–3 · cerca de 15 horas

Nesta aula você vai aprender

Média, mediana, desvio padrão e MAD, e por que o PlanetHunter prefere a mediana.
O que significa "3 sigma" e por que o sistema exige SNR de 7,1.
Por que a razão sinal-ruído cresce com a raiz do número de pontos.
A diferença entre ruído branco e ruído vermelho, e como o projeto mede o vermelho em blocos.
Como o teste qui-quadrado verifica se vários trânsitos "concordam".
Como ler o intervalo de confiança de um recall, como 123/135.

Por que estatística¶

Toda medida de brilho do TESS vem com um erro. Se você medir a mesma estrela duas vezes, com dois minutos de diferença, os números não serão iguais. Essa flutuação é o ruído.

Um trânsito de Pi Men c derruba o brilho em cerca de 300 ppm. O ruído de cada ponto dessa estrela é de cerca de 130 ppm. Ou seja: em qualquer ponto isolado, o trânsito é só duas vezes maior que a flutuação normal. Mesmo assim, o planeta é detectado com folga. A estatística explica como.

A pergunta central desta aula é sempre a mesma: essa queda é real ou pode ser acaso?

Média, mediana e desvio padrão¶

Imagine cinco medidas de brilho normalizado (1,0 = brilho normal), em ppm de desvio:

Medida	1	2	3	4	5
Desvio (ppm)	−120	+80	+10	−40	+3 000

A quinta é um flare, uma explosão na superfície da estrela, ou um raio cósmico.

Média: soma dividida pela quantidade. \((-120 + 80 + 10 - 40 + 3000)/5 = 586\) ppm. Um único ponto ruim arrastou a média para longe de tudo.
Mediana: ordene e pegue o do meio. Ordenado: −120, −40, 10, 80, 3 000. Mediana = 10 ppm. O flare não muda nada.
Desvio padrão (\(\sigma\)): o tamanho típico da flutuação em torno da média. É a raiz da média dos quadrados das diferenças. Também é muito sensível a pontos extremos.

A mediana é robusta: aguenta pontos absurdos sem se mover. Por isso o PlanetHunter usa a mediana para definir o nível de brilho "normal" fora do trânsito.

MAD: o desvio padrão robusto¶

O MAD (median absolute deviation, desvio absoluto mediano) faz para o desvio padrão o que a mediana faz para a média:

Calcule a mediana dos dados.
Calcule a distância de cada ponto até essa mediana.
Tire a mediana dessas distâncias.

Para dados com distribuição normal, \(\sigma \approx 1{,}4826 \times \text{MAD}\). É exatamente essa conta que o vetting usa (função _robust_sigma em vetting/basic.py).

O MAD também decide quais pontos jogar fora na limpeza. O PlanetHunter remove pontos acima de mediana + 4 × (1,4826 × MAD), o sigma_upper: 4.0 do config/thresholds.yaml. Nunca remove para baixo: um trânsito é justamente uma sequência de pontos abaixo do normal.

Exercício 1

Calcule o MAD e o sigma robusto das cinco medidas da tabela acima (−120, +80, +10, −40, +3 000 ppm). Compare com o desvio padrão comum (amostral), que é cerca de 1 350 ppm.

Ver resposta

Mediana = 10 ppm. Distâncias até 10: 130, 70, 0, 50, 2 990. Ordenadas: 0, 50, 70, 130, 2 990. Mediana delas: MAD = 70 ppm.

Sigma robusto = 1,4826 × 70 ≈ 104 ppm.

O desvio padrão comum dá cerca de 1 350 ppm, treze vezes mais, por causa de um único ponto. Com o sigma robusto, o flare fica a (3 000 − 10)/104 ≈ 29 sigmas da mediana e seria removido pelo corte de 4 sigmas.

A distribuição normal e o "sigma"¶

Quando o ruído vem de muitas pequenas causas independentes, os valores se distribuem numa curva normal (ou gaussiana), o famoso sino. Ela tem uma propriedade útil: a chance de um valor cair longe da média depende só de quantos \(\sigma\) ele está afastado.

Afastamento	Chance de ruído puro passar desse valor (só para baixo)
1 σ	16 %
2 σ	2,3 %
3 σ	0,13 % (1 em 740)
5 σ	0,000029 % (1 em 3,5 milhões)
7,1 σ	cerca de 6 × 10⁻¹³ (1 em 1,6 trilhão)

Dizer que um sinal tem "3 sigma" é dizer: se fosse só ruído normal, um valor desses apareceria 1 vez em 740.

Por que 3 sigma não basta: o efeito de olhar em todo lugar¶

1 em 740 parece raro. Mas a busca do PlanetHunter testa milhares de períodos e, para cada um, milhares de posições e durações de trânsito. São milhões de tentativas por estrela, e há cerca de 20 000 estrelas por setor. Com um milhão de tentativas, o ruído puro produz cerca de 1 350 "sinais" de 3 sigma. Isso se chama efeito de olhar em todo lugar (look-elsewhere effect).

O limite de 7,1 sigma vem da missão Kepler (Jenkins, Caldwell & Borucki, 2002). Foi escolhido para que, numa busca do tamanho da do Kepler, o ruído branco gaussiano produzisse menos de um falso alarme no total. O TESS e o PlanetHunter herdaram esse valor (snr_min: 7.1).

Ruído real não é normal

A tabela acima vale para ruído gaussiano ideal. Ruído de verdade tem caudas mais gordas. O projeto mediu isso: procurando um sinal numa faixa estreita de períodos em estrelas sem sinal (144 tentativas), o SNR mediano foi 5,2, mas 10 % das tentativas passaram de 19 e 1 % passou de 98. Por isso SNR ≥ 7,1 é necessário, mas não suficiente. O vetting existe para isso.

SNR e a raiz de N¶

A razão sinal-ruído (SNR) compara o tamanho da queda com a incerteza com que você a mede.

A ideia chave: a média de N pontos independentes tem erro \(\sigma/\sqrt{N}\). Uma medida isolada flutua \(\sigma\). A média de 4 medidas flutua \(\sigma/2\). A de 100 medidas, \(\sigma/10\). O ruído se cancela parcialmente ao somar, porque uns pontos sobem e outros descem.

Num trânsito, medimos a profundidade como a média dos pontos dentro do trânsito menos o nível normal. Então:

\[ \text{SNR} \approx \frac{\delta}{\sigma / \sqrt{N_\text{em trânsito}}} = \frac{\delta}{\sigma}\sqrt{N_\text{em trânsito}} \]

em que \(\delta\) é a profundidade e \(\sigma\) o ruído de um ponto.

Exemplo numérico: Pi Men c no setor 1¶

Números medidos ao rodar a aula M4 com Lightkurve:

profundidade média (modelo de caixa): \(\delta \approx 228\) ppm. É menos que os ~300 ppm do fundo do trânsito, porque a caixa faz a média incluindo as bordas inclinadas; a aula M2 explica;
ruído de um ponto de 2 minutos, depois do achatamento: \(\sigma \approx 128\) ppm;
duração do trânsito: cerca de 0,12 dia, ou seja, uns 86 pontos de 2 minutos por trânsito;
trânsitos no setor: 5, total de cerca de 430 pontos em trânsito.

Com um trânsito só:

\[ \text{SNR}_1 = \frac{228}{128/\sqrt{86}} = \frac{228}{13{,}8} \approx 16{,}5 \]

Com os cinco:

\[ \text{SNR}_5 = \frac{228}{128/\sqrt{430}} = \frac{228}{6{,}17} \approx 37 \]

O TLS do PlanetHunter, que usa um modelo de trânsito mais realista e outra estimativa de ruído, reporta SNR 33,6 para o mesmo sinal. A ordem de grandeza bate.

Repare na consequência: para dobrar o SNR, você precisa de quatro vezes mais pontos, ou seja, quatro vezes mais trânsitos. Por isso juntar setores ajuda tanto planetas pequenos, e por isso um planeta de período longo, com 2 trânsitos num setor, é difícil.

Exercício 2

Uma estrela hipotética tem ruído de 1 000 ppm por ponto de 2 minutos. Um candidato tem profundidade 500 ppm e trânsitos de 3 horas.

a) Qual o SNR de um único trânsito? b) Quantos trânsitos são necessários para chegar a SNR 7,1, supondo ruído branco?

Ver resposta

a) 3 horas = 180 minutos = 90 pontos de 2 minutos. Erro da média de um trânsito: \(1000/\sqrt{90} = 105\) ppm. SNR = 500/105 ≈ 4,7.

b) Com \(n\) trânsitos, SNR = \(4{,}7\sqrt{n}\). Queremos \(4{,}7\sqrt{n} \geq 7{,}1\), logo \(\sqrt{n} \geq 1{,}51\) e \(n \geq 2{,}3\). São necessários 3 trânsitos. Com 2, o SNR fica em 6,7 e o sinal é vetado pelo portão snr.

Ruído branco e ruído vermelho¶

O \(\sqrt{N}\) só funciona se cada ponto flutua independentemente do vizinho. Isso é ruído branco: pense em chuvisco caindo, cada gota num lugar aleatório.

Na prática, há também flutuações que duram horas: a estrela pulsa, uma mancha gira, o telescópio balança um pouco, o detrending deixa sobras. Pontos vizinhos sobem e descem juntos. Isso é ruído vermelho (ou correlacionado). Pense em ondas no mar: não adianta fazer a média de dez medidas seguidas se as dez estão na mesma crista.

Com ruído vermelho, a média de N pontos vizinhos não cai como \(\sigma/\sqrt{N}\). Ela para de cair num certo patamar. E uma ondulação de 2 horas, com 200 ppm, se parece muito com um trânsito.

Como medir: o método de blocos de Pont et al. (2006)¶

Pont, Zucker & Queloz (2006) propuseram um modelo simples:

\[ \sigma_N^2 = \frac{\sigma_w^2}{N} + \sigma_r^2 \]

O primeiro termo é o ruído branco, que diminui com N. O segundo, \(\sigma_r\), é o ruído vermelho, que não diminui. Para N grande, ele domina.

O jeito prático de medir é empírico:

Pegue a curva de luz fora dos trânsitos.
Corte-a em blocos de N pontos consecutivos (N = número de pontos de um trânsito).
Calcule a média de cada bloco.
Meça o desvio padrão dessas médias.

Se o ruído fosse branco, esse desvio seria \(\sigma/\sqrt{N}\). Se der mais, há ruído vermelho, e é esse valor maior que você deve usar como erro.

Na ferramenta

A classe BlockNoise em src/planethunter/vetting/basic.py faz exatamente isso. O erro da média de N pontos é o maior entre \(\sigma/\sqrt{N}\) (com \(\sigma\) robusto, via MAD) e o desvio padrão das médias de blocos de N pontos, medido fora do trânsito. Ela é usada nos testes odd_even, secondary, secondary_scan e consistency.

O motivo foi medido no setor 69: com o erro ingênuo \(\sigma/\sqrt{N}\), 4 de 41 planetas confirmados reprovavam no teste de consistência entre trânsitos. O erro estava pequeno demais, e diferenças normais pareciam significativas.

Há um segundo indicador na limpeza: a razão entre o desvio padrão da curva e o ruído ponto a ponto (red_noise_ratio em preprocess/clean.py). Para ruído branco ela vale cerca de 1. Acima de 1,2, o sistema refaz o detrending com janelas menores. A estrela do TOI 862.01 tinha razão 2,8 com a janela padrão. Veja a aula M3.

Exercício 3

Fora do trânsito, uma curva tem sigma robusto de 600 ppm por ponto. Um trânsito tem 36 pontos. Você corta a curva em blocos de 36 pontos e o desvio padrão das médias dos blocos dá 220 ppm.

a) Qual seria o erro da média de 36 pontos se o ruído fosse branco? b) Que erro o BlockNoise usa? c) Um trânsito isolado de 500 ppm: qual o SNR em cada caso?

Ver resposta

a) \(600/\sqrt{36} = 600/6 = 100\) ppm.

b) O maior entre 100 e 220: 220 ppm. Há ruído vermelho forte; os blocos flutuam mais que o dobro do esperado.

c) Ruído branco: 500/100 = 5,0. Com blocos: 500/220 ≈ 2,3. A conta ingênua faria o trânsito parecer duas vezes mais confiável do que é.

Qui-quadrado: os trânsitos concordam entre si?¶

Um planeta real produz trânsitos iguais toda órbita. Se um dos trânsitos é muito mais fundo que os outros, algo está errado: um evento instrumental, um flare invertido, ou dois fenômenos misturados.

Como decidir se as diferenças são "normais"? Com o teste qui-quadrado (\(\chi^2\)):

Meça a profundidade de cada trânsito, \(d_i\), e o erro de cada uma, \(\sigma_i\) (aqui entra o BlockNoise).
Calcule a média ponderada \(\bar d\) (trânsitos com erro menor pesam mais).
Some os desvios ao quadrado, em unidades de erro:

\[ \chi^2 = \sum_i \left(\frac{d_i - \bar d}{\sigma_i}\right)^2 \]

Se as diferenças forem só ruído, cada termo vale em média cerca de 1, e \(\chi^2\) fica perto do número de graus de liberdade: número de trânsitos menos 1. Se der muito maior, os trânsitos não concordam.

O valor-p traduz \(\chi^2\) em probabilidade: a chance de o ruído sozinho produzir uma discordância desse tamanho ou maior. O PlanetHunter reprova se p < 0,001 (transit_consistency_pvalue_min).

O teste tem um segundo critério: com 3 ou mais trânsitos, reprova se um único trânsito responde por mais de 80 % do SNR² total. É o caso "um evento estranho dominando".

Exercício 4

Cinco trânsitos com profundidades 290, 270, 310, 280 e 300 ppm, todos com erro 25 ppm.

a) Calcule \(\chi^2\) e diga se passa no teste. b) Troque o último por 600 ppm. O que acontece?

Dado: com 4 graus de liberdade, p = 0,001 corresponde a \(\chi^2 \approx 18{,}5\).

Ver resposta

a) Média (pesos iguais) = 290 ppm. Desvios: 0, −20, +20, −10, +10. Em unidades de erro: 0; −0,8; 0,8; −0,4; 0,4. Quadrados: 0; 0,64; 0,64; 0,16; 0,16. \(\chi^2 = 1{,}6\), bem abaixo de 18,5. O valor-p é cerca de 0,81. Passa.

b) Média = 350 ppm. Desvios: −60, −80, −40, −70, +250. Em erros: −2,4; −3,2; −1,6; −2,8; 10. Quadrados: 5,76; 10,24; 2,56; 7,84; 100. \(\chi^2 \approx 126\), valor-p da ordem de \(10^{-26}\). Reprova. Um único trânsito discordante basta.

Armadilha: sinais muito fortes

Quando o SNR é enorme, o erro de cada trânsito fica minúsculo, e diferenças reais mas inofensivas (um resíduo de detrending, um trânsito cortado por lacuna) viram dezenas de sigmas. No setor 69, planetas confirmados de alto SNR reprovaram em consistency: WASP-97 b (p ≈ \(10^{-35}\)), WASP-18 b (p ≈ \(10^{-26}\)), TOI-481 b. Por isso esse teste é uma falha leve (multiplica o score por 0,5), não um veto.

Na ferramenta

No dossiê, a seção "Profundidade por trânsito" é o qui-quadrado em forma de gráfico: um ponto por trânsito, com barra de erro, e uma linha tracejada na média. Sinal bom: pontos alinhados na linha. Sinal ruim: um ponto muito longe dos outros. Na tabela de vetting, a linha consistency mostra o número de trânsitos, o valor-p e a fração do SNR² no maior trânsito.

Intervalo de confiança binomial: quanto confiar num recall¶

O benchmark do projeto mede o recall: de 135 TOIs que deveriam ser detectáveis no setor 69, quantos o sistema encontra. Resultado: 123 de 135 = 91,1 %.

Mas 135 é uma amostra pequena. Se você jogar uma moeda viciada 135 vezes, a fração de caras varia de uma rodada para outra. O mesmo vale aqui. A pergunta certa é: qual faixa de recall "verdadeiro" é compatível com 123/135?

Uma conta aproximada: o erro de uma proporção \(p\) medida em \(n\) casos é

\[ \text{EP} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}911 \times 0{,}089}{135}} \approx 0{,}0245 \]

ou seja, 2,45 pontos percentuais. O intervalo de 95 % é cerca de ±1,96 EP: de 86,3 % a 95,9 %.

O relatório do projeto usa uma fórmula melhor, o intervalo de Wilson, que não deixa a faixa passar de 100 % e fica assimétrica perto das bordas. Resultado: 85,1 % a 94,8 %. Em linguagem simples: o recall verdadeiro do sistema, nesse tipo de alvo, está muito provavelmente entre 85 % e 95 %.

Consequência prática: uma mudança que leva o recall de 120/135 (88,9 %) para 123/135 (91,1 %) é compatível com acaso. Três TOIs a mais não provam melhora sozinhos. É preciso olhar quais TOIs mudaram e por quê, como o relatório de histórico faz.

Exercício 5

Calcule, com a aproximação simples, o intervalo de 95 % para o primeiro run do benchmark: 114 de 135 (84,4 %). Ele se sobrepõe ao intervalo do run final (85,1 % a 94,8 %)?

Ver resposta

\(p = 0{,}844\). EP = \(\sqrt{0{,}844 \times 0{,}156 / 135} = \sqrt{0{,}000975} \approx 0{,}0312\). Intervalo: 0,844 ± 1,96 × 0,0312 = 0,844 ± 0,061, ou seja, 78,3 % a 90,5 %.

Sim, sobrepõe (de 85,1 % a 90,5 %). Mesmo assim, a melhora de 114 para 123 é mais convincente do que os números sozinhos sugerem, porque o relatório mostra a causa de cada TOI recuperado (limites estelares, janela, alias). Estatística e diagnóstico andam juntos.

Checklist da aula¶

Sei calcular média, mediana, desvio padrão e MAD à mão para poucos números.
Sei explicar por que o PlanetHunter usa mediana e MAD na limpeza.
Sei o que significa "3 sigma" e por que o limite do sistema é 7,1.
Sei calcular o SNR de um trânsito a partir de profundidade, ruído por ponto e número de pontos.
Sei explicar ruído vermelho com uma analogia e descrever o método de blocos.
Sei calcular um qui-quadrado simples e interpretar o valor-p.
Sei explicar por que 91 % de recall com 135 objetos pode ser algo entre 85 % e 95 %.
Abri um dossiê, achei a seção "Profundidade por trânsito" e a linha consistency da tabela de vetting.

Para ir além¶

Khan Academy em português, trilha de estatística e probabilidade (pt.khanacademy.org): estatística descritiva e distribuição normal. Faça antes se média e desvio padrão ainda parecem estranhos.
Pont, Zucker & Queloz (2006), Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 373, 231. O artigo que formalizou o ruído vermelho em trânsitos. Leia a introdução e as figuras.
Jenkins, Caldwell & Borucki (2002), The Astrophysical Journal 564, 495. De onde vem o limite de 7,1 sigma do Kepler, herdado pelo TESS.
Wilson (1927), Journal of the American Statistical Association 22, 209. A origem do intervalo usado nos relatórios de benchmark; curto e legível.
No repositório do PlanetHunter, docs/benchmarks/2026-10-09-s0069-historico.md: o recall de cada run com o intervalo de 95 %. Bom para treinar a leitura de proporções com incerteza.