M2. Física do trânsito¶

Nível médio · semanas 3–5 · cerca de 12 horas

Nesta aula você vai aprender

A terceira lei de Kepler e como ela liga período, distância e densidade da estrela.
Como prever a duração de um trânsito, a fórmula usada no teste duration.
O que é o parâmetro de impacto e por que trânsitos rasantes têm formato em V.
Por que o fundo do trânsito é arredondado (escurecimento de borda).
A diferença entre o eclipse secundário de uma binária e a ocultação de um planeta, com o caso WASP-18 b.
Por que um trânsito curto demais numa estrela gigante indica blend.

Terceira lei de Kepler¶

Em 1619, Johannes Kepler descobriu que, quanto mais longe um planeta está do Sol, mais tempo ele leva para dar uma volta. Newton depois mostrou a fórmula exata. Para um planeta de massa desprezível em órbita circular de raio \(a\) em torno de uma estrela de massa \(M_\star\):

\[ P^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{G M_\star} \]

\(G\) é a constante gravitacional. Em palavras: o quadrado do período é proporcional ao cubo da distância.

Para trânsitos, a distância em quilômetros importa menos. O que importa é a distância em raios da estrela, \(a/R_\star\). E aqui acontece algo bonito. Escreva a massa da estrela como volume vezes densidade, \(M_\star = \tfrac{4}{3}\pi R_\star^3 \rho_\star\), e substitua:

\[ \left(\frac{a}{R_\star}\right)^3 = \frac{G \rho_\star P^2}{3\pi} \]

O raio e a massa sumiram separadamente. Sobrou só a densidade média da estrela, \(\rho_\star\). Dado o período, \(a/R_\star\) depende só de quão compacta é a estrela.

Dois valores para ancorar:

Terra e Sol: \(a/R_\star \approx 215\). A densidade média do Sol é 1,41 g/cm³.
Como \(a/R_\star \propto P^{2/3}\), um planeta de 10 dias em torno do Sol tem \(a/R_\star = 215 \times (10/365{,}25)^{2/3} \approx 19{,}5\).

A duração do trânsito¶

Pense no planeta como um carro numa pista circular. A pista tem comprimento \(2\pi a\), e o carro leva o período \(P\) para dar uma volta. Durante o trânsito, ele percorre só o trecho que fica na frente do disco da estrela. Num trânsito central, esse trecho tem comprimento de cerca de \(2R_\star\) (mais o diâmetro do próprio planeta). Então:

\[ T_{14} \approx \frac{P}{2\pi a} \times 2R_\star(1+k) = \frac{P}{\pi}\,\frac{R_\star}{a}\,(1+k) \]

em que \(k = R_p/R_\star\). \(T_{14}\) é a duração total, do primeiro ao quarto contato (do primeiro toque do planeta no disco até a saída completa).

A forma exata, usada pelo PlanetHunter na função predicted_duration_days de vetting/basic.py, para órbita circular e trânsito central (\(b = 0\)):

\[ T_{14} = \frac{P}{\pi}\,\arcsin\!\left(\frac{1+k}{a/R_\star}\right), \qquad \frac{a}{R_\star} = \left(\frac{G\rho_\star P^2}{3\pi}\right)^{1/3} \]

Como \(a/R_\star\) costuma ser bem maior que 1, o arco-seno quase não muda o resultado. Juntando tudo, a duração cresce com \(P^{1/3}\) e cai com \(\rho_\star^{1/3}\). Estrelas grandes e pouco densas (gigantes) têm trânsitos longos. Estrelas pequenas e densas (anãs vermelhas) têm trânsitos curtos.

Durações previstas para trânsito central numa estrela igual ao Sol:

Período	1 d	3 d	5 d	10 d	20 d	40 d	1 ano
\(T_{14}\) (b = 0)	1,8 h	2,6 h	3,1 h	3,9 h	4,9 h	6,2 h	13,0 h

Exercício 1

Estime a duração de um trânsito central (\(b = 0\)) de um planeta com período de 10 dias numa estrela igual ao Sol. Use \(T_{14} \approx (P/\pi)(R_\star/a)\), ignorando o tamanho do planeta. Depois compare com o valor de um dossiê real.

Ver resposta

Passo 1: \(a/R_\star\). Pela escala com a Terra: \(a/R_\star = 215 \times (10/365{,}25)^{2/3}\). A razão 10/365,25 = 0,0274. Elevada a 2/3: 0,0908. Então \(a/R_\star = 215 \times 0{,}0908 \approx 19{,}5\).

Conferindo pela fórmula com densidade: \(\rho_\odot = 1410\) kg/m³, \(P = 864\,000\) s, \(G = 6{,}674 \times 10^{-11}\). \(G\rho P^2/(3\pi) = 6{,}674\times10^{-11} \times 1410 \times 7{,}46\times10^{11} / 9{,}42 \approx 7\,450\). Raiz cúbica: 19,5. Bate.

Passo 2: duração. \(T_{14} \approx (10/\pi) \times (1/19{,}5) = 3{,}183 / 19{,}5 = 0{,}163\) dia. Em horas: 0,163 × 24 ≈ 3,9 horas.

Com um planeta do tamanho da Terra (\(k \approx 0{,}009\)), multiplique por 1,009: ainda 3,9 h. Com a fórmula exata (arco-seno), dá 3,91 h. A aproximação é excelente.

Comparação. Num dossiê, a tabela de vetting mostra na linha duration algo como "T14 3.11 h vs previsto (b=0) 3.79 h". Esse é o caso de Pi Men c (período 6,27 d, estrela com 1,15 R☉ e 1,1 M☉). Se a estrela for parecida com o Sol e o período perto de 10 dias, espere um previsto perto de 3,9 h, e um observado igual ou menor.

Na ferramenta

O teste duration divide a duração observada (do ajuste de trapézio) pela prevista com \(b = 0\). Passa se a razão estiver entre 0,15 e 1,3 (duration_ratio_min e duration_ratio_max). A massa vem do TIC; se faltar, é estimada a partir de \(\log g\) e do raio. Sem raio da estrela, o teste fica "sem dados" e o score é multiplicado por 0,95. Falhar custa um fator 0,6 no score. No dossiê, a seção Parâmetros mostra R, M e T14.

Por que acima de 1,3 é suspeito¶

Para órbita circular, o trânsito central é o mais longo possível. Qualquer inclinação encurta a corda. Então uma duração bem maior que a prevista com \(b = 0\) diz que alguma premissa falhou:

a estrela é maior e menos densa do que o TIC diz (uma subgigante catalogada como anã);
o sinal vem de outra estrela, maior, no mesmo pixel;
a órbita é excêntrica, e o trânsito acontece longe do ponto mais próximo da estrela;
o período está errado.

Caso real do setor 69: o TOI-724.01 mostrou T14 = 8,40 h contra 3,56 h previstas, razão 2,36. Falha leve em duration.

Por que abaixo de 0,15 é suspeito: o sinal 1594¶

Na primeira fatia real do setor 69 (2164 estrelas), o sinal 1594 chegou a P1 com score 1,0. Um candidato perfeito? Os números do dossiê:

estrela TIC 31273263: raio 3,06 R☉, massa 1 M☉. É uma gigante (ou subgigante): três vezes o raio do Sol com a mesma massa;
período 6,354 d, profundidade 1 091 ppm;
duração observada: 0,58 h;
duração prevista com \(b = 0\): 10,71 h. Razão: 0,054.

Uma gigante tem densidade baixíssima: \(\rho = 1/3{,}06^3 \approx 0{,}035\) vez a do Sol. Por isso \(a/R_\star\) é pequeno (cerca de 4,7) e um planeta leva horas para cruzar o disco enorme. Um trânsito de meia hora não combina com essa estrela.

Para encurtar de 10,7 h para 0,58 h (fator 18,5) só mudando a estrela, a densidade teria de ser \(18{,}5^3 \approx 6\,300\) vezes maior. Nem uma anã vermelha chega a tanto. As explicações plausíveis são: o sinal vem de outra estrela, menor e mais densa, misturada no mesmo pixel (um blend), provavelmente com eclipse rasante; ou é um trânsito extremamente rasante (\(b \approx 0{,}99\)) na própria gigante; ou não é um trânsito. Em qualquer caso, não é um candidato forte. Há outro indício na mesma direção: a estrela já tem objetos catalogados, e o código de severidade (alerts/severity.py) cita o sinal 1594 como exemplo de estrela que é binária eclipsante catalogada, caso em que um sinal novo quase sempre é eclipse.

Esse sinal motivou o limite inferior duration_ratio_min: 0.15, com o comentário no config/thresholds.yaml citando o próprio sinal 1594. Pela regra atual, essa falha multiplica o score por 0,6, e ele deixa de ser P1.

Exercício 2

Refaça a previsão do sinal 1594. Dados: \(P = 6{,}354\) d, \(R_\star = 3{,}06\) R☉, \(M_\star = 1\) M☉, \(k = 0{,}033\). Use a escala com o Sol: \(a/R_\star = 215 \times (P/365{,}25)^{2/3} \times (\rho_\star/\rho_\odot)^{1/3}\).

Ver resposta

Densidade relativa: \(\rho_\star/\rho_\odot = M/R^3 = 1/28{,}65 = 0{,}0349\). Raiz cúbica: 0,327.

Período: \(6{,}354/365{,}25 = 0{,}0174\). Elevado a 2/3: 0,0671.

\(a/R_\star = 215 \times 0{,}0671 \times 0{,}327 \approx 4{,}72\).

\(T_{14} = (P/\pi)\arcsin((1+k)/(a/R_\star)) = 2{,}023 \times \arcsin(1{,}033/4{,}72) = 2{,}023 \times \arcsin(0{,}219) = 2{,}023 \times 0{,}221 = 0{,}447\) d = 10,7 h. Exatamente o valor do dossiê.

Razão observada/prevista: 0,58/10,7 = 0,054, abaixo de 0,15. Falha.

Parâmetro de impacto e o formato em V¶

O parâmetro de impacto \(b\) diz por onde o planeta cruza o disco da estrela, medido em raios estelares a partir do centro:

\[ b = \frac{a\cos i}{R_\star} \]

em que \(i\) é a inclinação da órbita (90° = vista exatamente de lado).

\(b = 0\): o planeta passa pelo centro. Corda mais longa.
\(b = 0{,}7\): passa por cima, corda menor.
\(b \approx 1\): raspa a borda. Trânsito rasante.

O comprimento da corda é proporcional a \(\sqrt{(1+k)^2 - b^2}\). Para planetas pequenos, \(T_{14} \approx T_{14}(b=0)\sqrt{1-b^2}\). Isso explica por que a razão do teste duration costuma ficar abaixo de 1 para planetas reais.

Exercício 3

No setor 1, o PlanetHunter mediu para Pi Men c: T14 = 3,11 h, previsto com \(b = 0\): 3,79 h. Estime o parâmetro de impacto.

Ver resposta

Razão: 3,11/3,79 = 0,82. Com \(T_{14}/T_{14}(b=0) \approx \sqrt{1-b^2}\): \(1 - b^2 = 0{,}82^2 = 0{,}672\), então \(b^2 = 0{,}328\) e \(b \approx 0{,}57\).

É uma estimativa grosseira: o ajuste de trapézio, o raio do TIC e a massa estimada têm incerteza. Confira no NASA Exoplanet Archive o valor publicado para Pi Men c e compare.

As rampas do trânsito¶

Um trânsito tem quatro contatos. Entre o 1º e o 2º, o planeta está entrando no disco (rampa de descida, duração \(\tau\)). Entre o 2º e o 3º, está inteiro na frente da estrela (fundo). Entre o 3º e o 4º, está saindo (rampa de subida).

Para planetas pequenos e \(b\) não muito perto de 1 (Winn, 2010):

\[ \frac{\tau}{T_{14}} \approx \frac{k}{1-b^2} \]

Duas coisas aumentam as rampas:

\(k\) grande. Um planeta pequeno entra rápido: \(k = 0{,}016\) dá rampas finíssimas. Uma estrela companheira com metade do raio da primária (\(k = 0{,}5\)) leva quase metade do eclipse entrando.
\(b\) perto de 1. Num trânsito rasante, o planeta nunca fica inteiro sobre o disco. Não há fundo chato.

No limite, as rampas se encontram no meio e o trânsito vira um triângulo: o formato em V. Uma caixa ou um U sugere planeta. Um V sugere binária ou rasante.

Na ferramenta

O teste shape ajusta um trapézio na curva dobrada e mede \(\tau/T_{14}\). O valor 0,5 é um triângulo perfeito. O limite atual é 0,35 (v_shape_max). O mesmo teste reprova se \(R_p/R_\star > 0{,}3\) (rp_rs_max), tamanho de estrela, não de planeta.

A calibração foi medida no setor 69. Com limite 0,45, o teste não pegava nenhum falso positivo. Com 0,35, pega 8 de 18 falsos positivos do TFOPWG e marca 3 de 50 planetas, todos rasantes reais: HIP 65 A b, LTT 9779 b e TOI-2382 b. Por isso é falha leve (peso 0,5), nunca veto.

Valores medidos: Pi Men c 0,11; WASP-18 b 0,14; os falsos positivos TOI-297.01 0,42, TOI-4858.01 0,41 e TOI-189.01 0,41.

Escurecimento de borda¶

Olhe uma foto do Sol: o centro é mais brilhante que a borda. Isso é o escurecimento de borda (limb darkening). Na borda, sua linha de visada atravessa a atmosfera da estrela de lado e só enxerga as camadas mais altas, que são mais frias e emitem menos.

Consequência para o trânsito: quando o planeta está no centro do disco, ele tapa a região mais brilhante, e a queda é maior. Perto da borda, tapa uma região mais escura, e a queda é menor. O fundo do trânsito deixa de ser chato e fica arredondado, em forma de U.

Isso afeta a medida da profundidade. Para Pi Men c no setor 1:

Modelo	Profundidade
Caixa (BLS do Lightkurve, aula M4)	228 ppm
Trapézio (vetting do PlanetHunter)	272 ppm
Modelo do TLS, com escurecimento de borda	287 ppm

A caixa faz a média do trânsito inteiro, incluindo as rampas e as partes rasas do U. O modelo com escurecimento de borda captura o fundo mais profundo. É por isso que o TLS, que usa esse modelo, é mais sensível que o BLS (aula M3).

O arredondamento também infla um pouco o \(\tau/T_{14}\) medido pelo trapézio: o ajuste interpreta a curvatura do fundo como rampa. Por isso planetas de verdade aparecem com 0,1 a 0,15, e não com o valor geométrico de 0,02.

Eclipse secundário e ocultação planetária¶

Numa órbita circular, meio período depois do trânsito, o objeto passa atrás da estrela. O que se vê nesse momento, em fase 0,5, depende de quanto ele brilha.

Binária eclipsante. A companheira é uma estrela e tem luz própria. Quando ela é escondida, o brilho total cai: é o eclipse secundário. Se as duas estrelas forem parecidas, os dois eclipses têm profundidades parecidas.
Planeta. O planeta brilha muito pouco: luz refletida e calor. Quando ele some atrás da estrela, a queda é minúscula. Chama-se ocultação. Para quase todos os planetas, é invisível para o TESS.

A exceção são os Júpiteres ultraquentes. WASP-18 b orbita sua estrela em menos de um dia e é tão quente que o TESS vê sua luz sumir. A documentação do projeto registra cerca de 340 ppm em fase 0,5. No run final do setor 69, o teste secondary mediu 276 ppm, 3 % do primário (que tem cerca de 10 300 ppm), com significância de 8 sigma. Uma queda real e significativa em fase 0,5, num planeta confirmado.

No primeiro dia do projeto, WASP-18 b era vetado como binária. A correção usou a física: a ocultação de um planeta é uma fração pequena do trânsito, enquanto o secundário de uma binária costuma ser uma fração grande. A regra atual veta só se as duas condições valem juntas:

secundário com mais de 5 sigma (secondary_veto_sigma), e
secundário com 10 % ou mais da profundidade do primário (secondary_veto_ratio: 0.1).

Entre 3 e 5 sigma, ou acima de 5 sigma mas abaixo de 10 %, é falha leve (peso 0,4).

Casos do setor 69 vetados por secundário: TOI-287.01 (4 503 ppm em fase 0,5, 37 % do primário), TOI-349.01 (1 376 ppm, 13 %) e TOI-187.01 (108 %, ou seja, dois eclipses praticamente iguais). Todos são falsos positivos do TFOPWG.

Órbitas excêntricas

Se a órbita for excêntrica, o secundário não cai em fase 0,5. O teste secondary_scan procura a maior queda em qualquer fase entre 0,1 e 0,9, com limite mais alto (5 sigma), porque olha em muitos lugares (lembre do efeito de olhar em todo lugar, aula M1). Ele foi criado porque a binária excêntrica TOI-367.01 passava em tudo.

Exercício 4

Decida, com as regras do PlanetHunter, o resultado do teste secondary em cada caso:

a) Primário de 8 000 ppm; queda em fase 0,5 de 400 ppm com 9 sigma. b) Primário de 3 000 ppm; queda em fase 0,5 de 600 ppm com 6 sigma. c) Primário de 3 000 ppm; queda em fase 0,5 de 600 ppm com 4 sigma.

Ver resposta

a) Razão 400/8 000 = 5 %. Significativo (9 > 5 sigma), mas abaixo de 10 %. Falha leve, sem veto. Compatível com ocultação de um planeta muito quente, como WASP-18 b.

b) Razão 600/3 000 = 20 %, e 6 > 5 sigma. Veto. Perfil de binária eclipsante.

c) Razão 20 %, mas só 4 sigma: passa de 3 sigma (falha) e não chega a 5 (sem veto). Falha leve. Vale olhar o painel "Ímpar, par e secundário" do dossiê e procurar o secundário em outros setores.

Resumo: da física ao teste¶

Física	Grandeza	Teste do vetting
Kepler + densidade estelar	\(T_{14}\) previsto	`duration`
Parâmetro de impacto, \(k\) grande	\(\tau/T_{14}\)	`shape`
Profundidade \(\approx k^2\)	\(R_p\)	`radius`, `shape` (\(R_p/R_\star\))
Companheira luminosa	queda em fase 0,5	`secondary`
Órbita excêntrica	queda em outra fase	`secondary_scan`

Checklist da aula¶

Sei escrever a terceira lei de Kepler e explicar por que \(a/R_\star\) depende só da densidade da estrela.
Calculei a duração de um trânsito de 10 dias numa estrela como o Sol (cerca de 3,9 h).
Sei por que razão acima de 1,3 e abaixo de 0,15 no teste duration são suspeitas.
Sei explicar o parâmetro de impacto e por que rasantes e binárias têm formato em V.
Sei por que o fundo do trânsito é arredondado e por que a caixa subestima a profundidade.
Sei a diferença entre eclipse secundário e ocultação, e a regra dos 10 %.
Abri um dossiê e li as notas de duration, shape e secondary na tabela de vetting.

Para ir além¶

Winn (2010), "Transits and Occultations", gratuito no arXiv (arXiv:1001.2010). Seções 1 a 3. É o texto clássico: todas as fórmulas desta aula estão lá, com as derivações.
Seager & Mallén-Ornelas (2003), The Astrophysical Journal 585, 1038. Mostra como tirar a densidade da estrela só da forma do trânsito; a base do teste duration.
Página de Pi Men c no NASA Exoplanet Archive (exoplanetarchive.ipac.caltech.edu): compare o parâmetro de impacto publicado com o que você estimou no exercício 3.
Simulador de trânsito deste curso: mude os parâmetros e veja a forma da curva responder.