B2. O método de trânsito¶

Nível básico · semanas 2–3 · cerca de 4 horas

Nesta aula você vai aprender

Por que a luz de uma estrela cai quando um planeta passa na frente dela.
A regra principal: profundidade ≈ (raio do planeta / raio da estrela)².
O que período, duração e profundidade dizem sobre o sistema.
Por que só uma fração pequena dos planetas transita, e como calcular essa fração.
O que é uma curva de luz e como se mede uma queda em ppm.

A geometria do trânsito¶

Volte à lanterna e à mosca da aula B1. A mosca bloqueia uma parte da luz proporcional à área dela comparada à área da lanterna. Com estrelas é igual: visto daqui, a estrela é um disco brilhante e o planeta é um disco escuro, muito menor, que atravessa esse disco.

  visto de lado (órbita de perfil)          visto daqui (o que o telescópio "vê")

   estrela        planeta                          .-""""-.
   (  O  )  ------- o ------->  nós              /          \
                                                |     ●      |   ● = disco escuro
   o planeta passa entre a estrela e nós        |            |       do planeta
                                                 \          /
                                                   '-....-'

A área de um disco é \(\pi R^2\). A fração de luz bloqueada é a razão entre as duas áreas:

\[ \delta \approx \frac{\pi R_p^2}{\pi R_\star^2} = \left(\frac{R_p}{R_\star}\right)^2 \]

Aqui \(\delta\) (letra grega "delta") é a profundidade do trânsito, \(R_p\) é o raio do planeta e \(R_\star\) é o raio da estrela. O \(\pi\) cancela. Sobra só a razão dos raios, ao quadrado.

O quadrado é o detalhe mais importante da aula. Dobre o raio do planeta e a profundidade quadruplica. Reduza o raio da estrela à metade e a profundidade também quadruplica.

Por que \"aproximadamente\"

A regra supõe que a estrela brilha igual em todo o disco. Na verdade, a borda de uma estrela é um pouco mais escura que o centro (escurecimento de borda, assunto da aula M2). Isso arredonda o fundo do trânsito e muda a profundidade em alguns por cento. Para intuição, a regra basta.

Profundidade em ppm¶

As quedas são minúsculas. Por isso a área usa ppm, partes por milhão:

Fração	Porcentagem	ppm
0,01	1 %	10 000 ppm
0,001	0,1 %	1 000 ppm
0,0001	0,01 %	100 ppm

Para converter uma fração em ppm, multiplique por um milhão. Para converter porcentagem em ppm, multiplique por 10 000.

Com a regra e os raios da aula B1, sai a tabela que aparece no guia do projeto:

Planeta na frente de uma estrela igual ao Sol	\(R_p/R_\star\)	Profundidade
Terra	0,0092	cerca de 84 ppm (0,0084 %)
Netuno	0,035	cerca de 1 250 ppm (0,13 %)
Júpiter	0,100	cerca de 10 000 ppm (1 %)

Uma Terra na frente do Sol apaga 84 milésimos de milésimo da luz. É como perceber que uma lâmpada de 100 watts virou uma de 99,99 watts.

Você também pode usar a regra ao contrário. Se você mediu a profundidade e conhece o raio da estrela:

\[ R_p \approx R_\star \sqrt{\delta} \]

É assim que o PlanetHunter estima o raio do planeta de cada sinal.

Período, duração e profundidade¶

Um trânsito tem três números principais. Cada um conta uma coisa diferente.

Número	Símbolo	Unidade no projeto	O que diz
Período	\(P\)	dias	quanto tempo o planeta leva para dar uma volta; daí, pela terceira lei de Kepler, a distância até a estrela
Duração	\(T_{14}\)	horas	quanto tempo o planeta leva para atravessar o disco; depende do tamanho da estrela e da velocidade do planeta
Profundidade	\(\delta\)	ppm	o tamanho do planeta comparado ao da estrela

O período é o intervalo entre dois trânsitos seguidos. Com o período e um instante de trânsito (chamado \(T_0\)), dá para prever todos os trânsitos futuros. Esse par de números se chama efeméride.

O período também dá a distância. A terceira lei de Kepler diz que órbitas maiores levam mais tempo. Para uma estrela com a massa do Sol, medindo o período em anos e a distância \(a\) em UA:

\[ a^3 = P^2 \]

A Terra: \(P = 1\) ano, \(a = 1\) UA. Um planeta de 10 dias (\(P = 0{,}0274\) ano) fica a cerca de 0,09 UA, quatro vezes mais perto que Mercúrio.

A duração depende de quanto caminho o planeta percorre na frente do disco e da velocidade dele. Para um trânsito que passa pelo centro do disco, numa órbita circular, uma boa aproximação é:

\[ T_{14} \approx \frac{P}{\pi}\,\frac{R_\star}{a} \]

Para a Terra: \(P = 8\,766\) horas, \(R_\star / a = 696\,000 / 149\,600\,000 = 0{,}00465\). Então \(T_{14} \approx 8\,766 / 3{,}14 \times 0{,}00465 \approx 13\) horas. Um observador distante veria a Terra levar cerca de 13 horas para cruzar o Sol, uma vez por ano.

Se o planeta passar perto da borda do disco, e não pelo centro, o trânsito fica mais curto e mais pontudo. Isso é medido pelo parâmetro de impacto \(b\) (0 = centro, 1 = borda), e você vai brincar com ele no simulador.

Por que só uma fração dos planetas transita¶

Para haver trânsito, a órbita precisa estar quase de perfil para nós. Se ela estiver inclinada, o planeta passa "acima" ou "abaixo" da estrela, e nada acontece com o brilho.

Pense numa lâmpada no centro de uma sala e numa formiga andando num círculo ao redor dela. Só quem olha da altura certa vê a formiga passar na frente da lâmpada. Quanto maior o círculo, mais estreita fica essa faixa de altura.

A probabilidade de uma órbita, com orientação ao acaso, produzir trânsitos é aproximadamente:

\[ p_{\text{trânsito}} \approx \frac{R_\star}{a} \]

Para a Terra e o Sol: \(p \approx 696\,000 / 149\,600\,000 \approx 0{,}0047\), ou seja, cerca de 0,5 %. De cada 200 sistemas com uma Terra gêmea a 1 UA de um Sol, só um estaria alinhado para mostrar trânsitos.

Para um planeta de 10 dias ao redor de uma estrela como o Sol (\(a \approx 0{,}09\) UA), a chance sobe para cerca de 5 %. Para um Júpiter quente de 3 dias (\(a \approx 0{,}04\) UA), mais de 10 %. Por isso as buscas por trânsito acham principalmente planetas de período curto: eles transitam com mais frequência e com mais probabilidade.

Armadilha comum

"Não vi trânsito, então a estrela não tem planeta" está errado. A ausência de trânsito quase sempre quer dizer só que a órbita não está alinhada conosco. A grande maioria dos planetas da galáxia nunca vai transitar para nós.

A curva de luz¶

Uma curva de luz é o gráfico do brilho de uma estrela ao longo do tempo. É o dado bruto de tudo neste curso. No eixo horizontal vai o tempo (no TESS, em dias BTJD, explicados na aula B3). No eixo vertical vai o brilho, dividido pelo brilho médio, de modo que "normal" vale 1,000.

brilho
  1.000 ─────────╮      ╭──────────────────╮      ╭─────────
                 │      │                  │      │
  0.999          ╰──────╯                  ╰──────╯
                 ↑ trânsito                ↑ trânsito
                 |←─────── período ───────→|
                                                       tempo →

Um trânsito de planeta tem uma forma característica:

Entrada (ingresso): o brilho cai enquanto o disco do planeta entra na frente da estrela.
Fundo: o planeta inteiro está na frente do disco; o brilho fica quase constante, levemente arredondado pelo escurecimento de borda. O formato lembra um U.
Saída (egresso): o brilho volta ao normal.

Na prática, os pontos da curva não ficam numa linha limpa. Cada medida tem ruído: pequenas flutuações aleatórias. Um trânsito de 84 ppm numa estrela cujo ruído por medida é de 700 ppm fica invisível a olho. A saída é juntar muitos trânsitos: o pipeline sobrepõe todos eles alinhados pelo período (isso se chama dobrar a curva) e o ruído aleatório se cancela parcialmente, enquanto o trânsito, que está sempre no mesmo lugar, se soma.

Quanto o trânsito se destaca do ruído é medido pela razão sinal-ruído, o SNR. Você vai estudá-lo a fundo no nível médio. Por enquanto, guarde: mais trânsitos, estrela mais brilhante e planeta maior aumentam o SNR.

Na ferramenta

Os três números do trânsito são colunas da lista de candidatos (uv run planethunter candidates): period_d (período em dias), t14_h (duração em horas) e depth_ppm (profundidade em ppm). A coluna rp_rearth é o raio estimado com \(R_p = R_\star\sqrt{\delta}\). No dossiê, o gráfico Trânsito dobrado mostra todos os trânsitos sobrepostos: um "U" claro é bom sinal. O PlanetHunter exige pelo menos 2 trânsitos (teste n_transits) e SNR de pelo menos 7,1 (teste snr) para levar um sinal adiante. Esses limites ficam em config/thresholds.yaml.

Experimente no simulador

Abra o simulador de trânsito e experimente mudar o raio do planeta. Dobre o raio e confira que a profundidade quadruplica. Depois troque o Sol por uma anã vermelha de 0,2 R☉ mantendo a Terra. Por fim, leve o parâmetro de impacto para perto de 1 e veja o trânsito virar um "V".

Exercício 1 (do plano de estudos)

Raios: Sol 696 000 km, Terra 6 371 km, Netuno 24 622 km, Júpiter 69 911 km.

a) Calcule a profundidade de trânsito da Terra, de Netuno e de Júpiter na frente do Sol, em ppm.

b) Repita para uma anã vermelha com raio 0,2 R☉.

c) Por que é mais fácil achar planetas pequenos em estrelas pequenas?

Ver resposta

a) Sol (\(R_\star\) = 696 000 km). Use \(\delta = (R_p/R_\star)^2\) e multiplique por \(10^6\).

Terra: \(6\,371 / 696\,000 = 0{,}009154\). Ao quadrado: \(0{,}0000838\). Em ppm: cerca de 84 ppm.
Netuno: \(24\,622 / 696\,000 = 0{,}03538\). Ao quadrado: \(0{,}001251\). Em ppm: cerca de 1 250 ppm (o guia arredonda para 1 300; 0,13 %).
Júpiter: \(69\,911 / 696\,000 = 0{,}1004\). Ao quadrado: \(0{,}01009\). Em ppm: cerca de 10 100 ppm, ou 1 %.

b) Anã vermelha (\(R_\star = 0{,}2 \times 696\,000 = 139\,200\) km).

Terra: \(6\,371 / 139\,200 = 0{,}04577\). Ao quadrado: \(0{,}002095\). Cerca de 2 100 ppm (0,2 %).
Netuno: \(24\,622 / 139\,200 = 0{,}1769\). Ao quadrado: \(0{,}03129\). Cerca de 31 000 ppm (3,1 %).
Júpiter: \(69\,911 / 139\,200 = 0{,}5022\). Ao quadrado: \(0{,}2522\). Cerca de 252 000 ppm (25 %).

Atalho: a estrela tem 1/5 do raio do Sol, então todas as profundidades ficam \(5^2 = 25\) vezes maiores.

c) A profundidade cresce com o inverso do quadrado do raio da estrela. A mesma Terra que mal se nota no Sol (84 ppm, abaixo do ruído de uma única medida do TESS para a maioria das estrelas) produz 2 100 ppm numa anã de 0,2 R☉, uma queda facilmente detectável. Repare também no Júpiter: 25 % de queda é tão fundo que pareceria um eclipse entre duas estrelas. Profundidade muito grande é motivo para desconfiar, como você verá na aula B4.

Exercício 2

a) Qual a probabilidade de uma Terra a 1 UA de uma estrela igual ao Sol transitar para nós?

b) Se você observasse 10 000 estrelas iguais ao Sol, cada uma com uma Terra gêmea, quantas mostrariam trânsitos?

c) E se cada uma tivesse um planeta de 3 dias (a ≈ 0,04 UA)?

Ver resposta

a) \(p \approx R_\star / a = 696\,000 \text{ km} / 149\,600\,000 \text{ km} \approx 0{,}0047\), ou seja, cerca de 0,5 %.

b) \(10\,000 \times 0{,}0047 \approx\) 47 estrelas. As outras 9 953 têm o planeta, mas a órbita não está alinhada conosco.

c) \(a = 0{,}04 \times 149\,600\,000 \approx 5\,984\,000\) km. \(p \approx 696\,000 / 5\,984\,000 \approx 0{,}116\), cerca de 12 %: perto de 1 160 estrelas. Órbitas pequenas transitam com probabilidade muito maior.

Exercício 3

O planeta Pi Men c, que você vai ver no PlanetHunter na aula B5, tem período de 6,27 dias e profundidade de cerca de 300 ppm. A estrela Pi Mensae tem raio de cerca de 1,1 R☉.

a) Estime o raio do planeta em R⊕.

b) Quantos trânsitos cabem num setor do TESS, que dura cerca de 27 dias?

Ver resposta

a) \(\delta = 300 \text{ ppm} = 0{,}0003\). \(\sqrt{0{,}0003} \approx 0{,}0173\). Esse é \(R_p/R_\star\). Então \(R_p \approx 0{,}0173 \times 1{,}1 \text{ R☉} \approx 0{,}019\) R☉. Convertendo com 1 R☉ ≈ 109 R⊕: \(0{,}019 \times 109 \approx\) 2,1 R⊕. Uma super-Terra ou mini-Netuno, com cerca do dobro do raio da Terra.

b) \(27 / 6{,}27 \approx 4{,}3\). Cabem 4 trânsitos, às vezes 5 dependendo de onde caiu o primeiro. Na prática pode ser menos: o TESS tem uma pausa de cerca de um dia no meio de cada setor para enviar dados à Terra (aula B3), e um trânsito pode cair nela.

Checklist da aula¶

Sei explicar por que a luz cai num trânsito (o disco do planeta bloqueia parte do disco da estrela).
Sei usar \(\delta \approx (R_p/R_\star)^2\) nos dois sentidos: do raio para a profundidade e da profundidade para o raio.
Sei converter entre fração, porcentagem e ppm.
Sei o que cada um dos três números (período, duração, profundidade) diz sobre o sistema.
Sei o que é efeméride (\(P\) e \(T_0\)).
Sei calcular a probabilidade de trânsito \(R_\star/a\) e por que ela favorece órbitas curtas.
Sei descrever as partes de um trânsito numa curva de luz (entrada, fundo em U, saída).
Brinquei com o simulador mudando o raio do planeta, o raio da estrela e o parâmetro de impacto.
Fiz os três exercícios sem olhar a resposta.

Para ir além¶

Winn (2010), "Transits and Occultations", gratuito no arXiv (arXiv:1001.2010). O texto clássico sobre a física dos trânsitos. Neste nível, leia só a introdução e olhe as figuras; volte a ele na aula M2.
NASA Science, página sobre o método de trânsito (science.nasa.gov/exoplanets). Tem animações curtas que mostram a curva de luz se formando enquanto o planeta passa.
Simulador de trânsito deste curso. Faça os dois desafios da página.
Charbonneau et al. (2000), "Detection of planetary transits across a Sun-like star", The Astrophysical Journal 529, L45. O primeiro trânsito de exoplaneta observado (HD 209458 b). Veja a figura da curva de luz: é o mesmo "U" desta aula.